Question

8．某学校为了解学生的学习、生活等情况，决定召开一次学生座谈会．此学校各年级人数情况如表：

年  级 性  别	高一年级	高二年级	高三年级
男	520	y	400
女	x	610	600

（1）若按年级用分层抽样的方法抽取n个人，其中高二年级22人，高三年级20人，再从这n个人中随机抽取出1人，此人为高三年级的概率为$\frac{10}{33}$，求x、y的值．
（2）若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，从这5人中任取2人，求至少有1人是男生的概率．

Answer 1

分析 （1）依题意得：$\frac{20}{n}=\frac{10}{33}$，求出n=66，从而得到高一年级被抽取的人数为24．由此能求出x，y．
（2）若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，设抽取男生的人数为m，则$\frac{m}{5}=\frac{400}{600+400}$，解得m=2，从而应抽取男生2人，女生3人，分别记作A₁、A₂；B₁、B₂、B₃，利用列举法能求出至少有1人是男生的概率．

解答 解：（1）依题意得：$\frac{20}{n}=\frac{10}{33}$，解得n=66．…（2分）
所以高一年级被抽取的人数为66-22-20=24．
所以$\frac{20}{1000}=\frac{24}{520+x}=\frac{22}{y+610}$，解得x=680，y=490．…（6分）
（2）若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，
设抽取男生的人数为m，则$\frac{m}{5}=\frac{400}{600+400}$，解得m=2，
所以应抽取男生2人，女生3人，分别记作A₁、A₂；B₁、B₂、B₃．…（8分）
记“从中任取2人，至少有1人是男生”为事件A．
从中任取2人的所有基本事件共10个：（A₁，A₂），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），
（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₂，B₃）．
其中至少有1人为男生的基本事件有7个：
（A₁，A₂），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃）．
所以从中从中任取2人，至少有1人是男生的概率为$\frac{7}{10}$．…（13分）
∴至少有1人是男生的概率$\frac{7}{10}$．…（14分）

点评 本题考查实数值的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．