Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥平面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F．求证：
（1）平面BCD⊥平面ACD；
（2）BD⊥平面AFE．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）运用线面垂直的性质和判定，及直径所对的圆周角为直角，和面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）运用线面垂直的性质和判定定理，即可得证．

解答： 证明：（1）由于AD⊥平面ABC，则AD⊥BC，
由于AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，则BC⊥AC，
则有BC⊥平面ACD，
由于BC?平面BCD，则有平面BCD⊥平面ACD；
（2）由（1）得，BC⊥平面ACD，则BC⊥AF，
又AF⊥CD，则AF⊥平面BCD，
即有AF⊥BD，又AE⊥BD，
则有BD⊥平面AEF．

点评：本题考查线面垂直和面面垂直的性质和判定定理及运用，考查逻辑推理能力，属于中档题．