Question

对于任意x∈[0，2]，总存在t∈（0，2]，使得e^x（x²-3x+1）≤at²+2t成立，则实数a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：令f（x）=e^x（x²-3x+1），x∈[0，2]，运用导数求出f（x）的最大值1，得到存在t∈（0，2]，at²+2t≥1成立，运用参数分离，再求右边的最小值即可．

解答： 解：令f（x）=e^x（x²-3x+1），x∈[0，2]，
则f′（x）=e^x（x²-x-2），由f′（x）＜0，得到-1＜x＜2，
则[0，2]为f（x）的减区间，f（0）最大，且为1．
则由条件可得，存在t∈（0，2]，at²+2t≥1成立，
即有a≥

1-2t

t2

=（

1

t

-1）²-1，
由于t∈（0，2]，则

1

t

≥

1

2

，当

1

t

=1，

1-2t

t2

取得最小值-1．
则a≥-1，即有a的取值范围是：[-1，+∞）．
故答案为：[-1，+∞）．

点评：本题考查不等式的恒成立和存在问题，注意转化为求函数的最值问题，考查导数的运用，及二次函数的值域，属于中档题和易错题．