Question

已知g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²，求证：g（x）≥

1

2

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：证明题,导数的概念及应用,直线与圆

分析：g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²，可看作是两点A（x，lnx）和B（a，a）的距离的平方，A在函数y=lnx上，B在直线y=x上，设直线y=x+t与函数y=lnx相切的一条直线，运用导数求出切点，求出切点到直线y=x的距离，即为A，B的最小值，再平方，即可得证．

解答： 证明：g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²，
可看作是两点A（x，lnx）和B（a，a）的距离的平方，
A在函数y=lnx上，B在直线y=x上，
设直线y=x+t与函数y=lnx相切的一条直线，
可设切线为（m，n），则由（lnx）′=

1

x

，
即有切线斜率为

1

m

=1，解得m=1，n=0，
则切点为（1，0），切线为y=x-1，
此时切点到直线y=x的距离即为A，B两点距离的最小值，
即为

|1-0|

2

=

2

2

．
故g（x）≥(

2

2

)2=

1

2

．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，考查两点的距离和点到直线的距离的公式及运用，考查运算能力，属于中档题．