Question

如图，在五棱锥P一ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC=45°，AB=2

2

，BC=2AE=4，△PAB是等腰三角形．
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC     
（2）求四棱锥P一ACDE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）要证平面PCD⊥平面PAC，只需证明平面PCD内的直线CD，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可；
（2）直接求出底面面积和高，再求四棱锥P-ACDE的体积．

解答： 解：（1）证明：因为∠ABC=45°，AB=2

2

，BC=4，
所以在△ABC中，由余弦定理得：AC2=（2

2

）²+4²-2×2

2

×4cos45°=8，解得AC=2

2

，
所以AB²+AC²=8+8=16=BC²，即AB⊥AC，
又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥AB，
又PA∩AC=A，所以AB⊥平面PAC，又AB∥CD，所以CD⊥平面PAC，
又因为CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC；
（2）由（1）知CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得DE=

2

，AC=2

2

，
所以四边形ACDE的面积为

1

2

（

2

+2

2

）×

2

=3，
所以四棱锥P-ACDE的体积为

1

3

×2

2

×3=2

2

点评：本题主要考查空间中的基本关系，考查线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和几何体体积的计算，考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力．