Question

已知椭圆

x2

2

+y²=1的左焦点为F，O为坐标原点．过点F的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）若直线l的倾斜角α=

π

4

，求|AB|．
（2）求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线的倾斜角

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式，即可求得结论；
（2）利用点差法，即可求弦AB的中点M的轨迹方程；

解答： 解：（1）因为直线l的倾斜角α=

π

4

，直线l的斜率为1，方程为y=x+1，与椭圆方程联立，可得3x²+4x=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁=0，x₂=-

4

3

∴|AB|=

2

|x₁-x₂|=

4 2

3

；
（2）当直线AB的斜率存在时
设弦AB的中点M的坐标为（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
依题意有

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1 x1+x2=2x y1+y2=2y y1-y2 x1-x2 = y x+1

，又

y1-y2

x1-x2

=

-x

2y

，化简可得x²+x+2y²=0．…（7分）
当直线AB的斜率不存在时，中点为F（-1，0）也满足上式．
综上得：弦AB的中点M的轨迹方程为x²+x+2y²=0．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系中弦长的求法以及利用点差法求弦中点轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．