Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量$\overrightarrow m=（{cosA，cosB}）$，$\overrightarrow n=（{b-2c，a}）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$建立关系，化简即可求解A的大小．
（2）a=3，利用余弦定理与基本不等式，可得△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）由题意：$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，即（b-2c）cosA+acosB=0，
根据正弦定理化简可得：sinAcosB+cosAsinB-2cosAsinC=0，
?sin（A+B）=2cosAsinC
?2cosA=1
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π
∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵a=3，由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA
可得，9=${b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$．
∵b²+c²≥2bc，
∴9+bc≥2bc．（当且仅当b=c=3时取等号）
可得：bc≤9．
那么：△ABC面积：$S=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{1}{2}×9×sin\frac{π}{3}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查向量的运算和正余弦定理的运用．融入了基本不等式，属于中档题．