题目内容
17．在平面直角坐标系xoy中，圆O：x2+y2=1，圆M：（x+a+3）2+（y-2a）2=1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，则a的取值范围为-1≤a≤$\frac{3}{5}$．分析 从圆M上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP=1，利用圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，可得|OM|≤2，进而得出答案．
解答 解：由题意，圆M：（x+a+3）2+（y-2a）2=1（a为实数），圆心为M（-a-3，2a）
从圆M上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP=1．
∵圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，
∴|OM|≤2，
∴（a+3）2+4a2≤4，
∴-1≤a≤$\frac{3}{5}$，
故答案为：-1≤a≤$\frac{3}{5}$．
点评 本题考查了直线与圆相切的性质、两点间的距离的计算公式、数形结合思想方法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m且$\frac{AB}{AD}$≥$\frac{1}{2}$，设∠EOF=θ，透光区域的面积为S．
如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为$\frac{34}{5}$．
2．若双曲线$\frac{x^2}{3-m}+\frac{y^2}{m-1}=1$的渐近线方程为$y=±\frac{1}{2}x$，则m的值为（ ）
| A． | -1 | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{11}{3}$ | D． | -1或$\frac{1}{3}$ |
9．漳州水仙鳞茎硕大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟丽，有“天下水仙数漳州”之美誉．现某水仙花雕刻师受雇每天雕刻250粒水仙花，雕刻师每雕刻一粒可赚1.2元，如果雕刻师当天超额完成任务，则超出的部分每粒多赚0.5元；如果当天未能按量完成任务，则按完成的雕刻量领取当天工资．
（Ⅰ）求雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量n（单位：粒，n∈N）的函数解析式f（n）；
（Ⅱ）该雕刻师记录了过去10天每天的雕刻量n（单位：粒），整理得如表：
以10天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率．
（ⅰ）在当天的收入不低于276元的条件下，求当天雕刻量不低于270个的概率；
（ⅱ）若X表示雕刻师当天的收入（单位：元），求X的分布列和数学期望．
（Ⅰ）求雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量n（单位：粒，n∈N）的函数解析式f（n）；
（Ⅱ）该雕刻师记录了过去10天每天的雕刻量n（单位：粒），整理得如表：
| 雕刻量n | 210 | 230 | 250 | 270 | 300 |
| 频数 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
（ⅰ）在当天的收入不低于276元的条件下，求当天雕刻量不低于270个的概率；
（ⅱ）若X表示雕刻师当天的收入（单位：元），求X的分布列和数学期望．
1．在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁）
（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？
（2）若从年龄在[55，65），[65，75）的别调查的人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成“使用微信交流”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
参考数据：
参考公式：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
| 年龄 | [15，25） | [25，35） | [35，45） | [45，55） | [55，65） | [65，75） |
| 频数 | 10 | 30 | 30 | 20 | 5 | 5 |
| 赞成人数 | 8 | 25 | 24 | 10 | 2 | 1 |
| 年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
| 赞成 | |||
| 不赞成 | |||
| 合计 |
参考数据：
| P（K2≥k0） | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k0 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |