Question

6．已知函数f（x）=ae^x-blnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为$y=（\frac{1}{e}-1）x+1$．
（1）求a，b；
（2）证明：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）求导函数，利用曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程，可得f（1）=$\frac{1}{e}$，f′（1）=$\frac{1}{e}$-1，由此可求a，b的值；
（2）构造函数y=e^x-2-（x-1），求导函数，确定函数的单调区间，从而可得函数的最小值；构造y=lnx-（x-1），求出导数和单调区间，可得最大值，故可得证．

解答 （1）解：函数f（x）=ae^x-blnx，
求导函数可得f′（x）=ae^x-$\frac{b}{x}$（x＞0）
∵曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为$y=（\frac{1}{e}-1）x+1$，
∴f（1）=$\frac{1}{e}$，f′（1）=$\frac{1}{e}$-1，
∴ae=$\frac{1}{e}$，ae-b=$\frac{1}{e}$-1，
∴a=$\frac{1}{{e}^{2}}$，b=1；
（2）证明：函数f（x）=e^x-2-lnx，
由y=e^x-2-（x-1）的导数y′=e^x-2-1，
当x＞2时，导数y′＞0，函数y递增；
当x＜2时，导数y′＜0，函数y递减．
可得函数y在x=2处取得极小值也为最小值0，
即有e^x-2≥x-1；
由y=lnx-（x-1）的导数为y′=$\frac{1}{x}$-1，
当x＞1时，导数y′＜0，函数y递减；
当0＜x＜1时，导数y′＞0，函数y递增．
可得函数y在x=1处取得极大值也为最大值0，
即有lnx≤x-1；
由于等号不同时取得，
则e^x-2＞lnx，
即有f（x）＞0成立．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，解题的关键是构造函数，确定函数的单调区间，求出函数的最值，属于中档题．