题目内容
2．若双曲线$\frac{x^2}{3-m}+\frac{y^2}{m-1}=1$的渐近线方程为$y=±\frac{1}{2}x$，则m的值为（ ）| A． | -1 | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{11}{3}$ | D． | -1或$\frac{1}{3}$ |
分析 根据题意，分2种情况讨论：①、当双曲线的焦点在x轴上，则有$\left\{\begin{array}{l}{3-m＞0}\\{m-1＜0}\end{array}\right.$，解可得m＜1，由双曲线的渐近线方程可得$\frac{\sqrt{1-m}}{\sqrt{3-m}}$=$\frac{1}{2}$，解可得m的值，②、当双曲线的焦点在y轴上，则有$\left\{\begin{array}{l}{3-m＜0}\\{m-1＞0}\end{array}\right.$，解可得m的范围，同理由双曲线的渐近线方程解可得m的值；综合2种情况可得m的值，即可得答案．
解答 解：根据题意，双曲线的方程为：$\frac{x^2}{3-m}+\frac{y^2}{m-1}=1$，
则分2种情况讨论：
①、当双曲线的焦点在x轴上，则有$\left\{\begin{array}{l}{3-m＞0}\\{m-1＜0}\end{array}\right.$，解可得m＜1，
此时渐近线的方程为y=±$\frac{\sqrt{1-m}}{\sqrt{3-m}}$x，
又由题意可得：$\frac{\sqrt{1-m}}{\sqrt{3-m}}$=$\frac{1}{2}$，
解可得：m=$\frac{1}{3}$，
②、当双曲线的焦点在y轴上，则有$\left\{\begin{array}{l}{3-m＜0}\\{m-1＞0}\end{array}\right.$，解可得m＞3，
此时渐近线的方程为y=±$\frac{\sqrt{m-1}}{\sqrt{m-3}}$x，
又由题意可得：$\frac{\sqrt{m-1}}{\sqrt{m-3}}$=$\frac{1}{2}$，
解可得：m=-1，不合题意，舍去；
综合可得：m=$\frac{1}{3}$；
故选：B．
点评 本题考查双曲线的几何性质，注意要先分析双曲线的标准方程的形式．
