Question

9．漳州水仙鳞茎硕大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟丽，有“天下水仙数漳州”之美誉．现某水仙花雕刻师受雇每天雕刻250粒水仙花，雕刻师每雕刻一粒可赚1.2元，如果雕刻师当天超额完成任务，则超出的部分每粒多赚0.5元；如果当天未能按量完成任务，则按完成的雕刻量领取当天工资．
（Ⅰ）求雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量n（单位：粒，n∈N）的函数解析式f（n）；
（Ⅱ）该雕刻师记录了过去10天每天的雕刻量n（单位：粒），整理得如表：

雕刻量n	210	230	250	270	300
频数	1	2	3	3	1

以10天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率．
（ⅰ）在当天的收入不低于276元的条件下，求当天雕刻量不低于270个的概率；
（ⅱ）若X表示雕刻师当天的收入（单位：元），求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）利用一次函数的解析式，分别得出当n≥250时，f（n）=250×1.2+1.7×（n-250）；当n＜250时，f（n）=1.2n．
（ II）（ⅰ）设当天的收入不低于276元为事件A，设当天雕刻量不低于270个为事件B，由（I）得“利润不低于276元”等价于“雕刻量不低于230个”，可得P（A）=0.9，再利用条件概率计算公式可得．
（ⅱ）由题意得f（210）=252，f（230）=276，f（250）=300，f（270）=334，f（300）=385，X的可能取值为252，276，300，334，385．即可得出分布列与数学期望．

解答 解：（I）当n≥250时，f（n）=250×1.2+1.7×（n-250）=1.7n-125，
当n＜250时，f（n）=1.2n，
所以$f（n）=\left\{{\begin{array}{l}{1.7n-125，n≥250}\\{1.2n，\;\;n＜250}\end{array}}\right.（n∈N）$．（4分）
（ II）（ⅰ）设当天的收入不低于276元为事件A，设当天雕刻量不低于270个为事件B，
由（I）得“利润不低于276元”等价于“雕刻量不低于230个”，则P（A）=0.9，
所以$P（{B|A}）=\frac{{P（{AB}）}}{P（A）}=\frac{0.3+0.1}{0.9}=\frac{4}{9}$．（7分）
（ⅱ）由题意得f（210）=252，f（230）=276，f（250）=300，f（270）=334，f（300）=385，X的可能取值为252，276，300，334，385．
所以P（X=252）=0.1，P（X=276）=0.2，P（X=300）=0.3，P（X=334）=0.3，P（X=385）=0.1，（10分）X的分布列为

X	252	276	300	334	385
P	0.1	0.2	0.3	0.3	0.1

∴E（X）=252×0.1+276×0.2+300×0.3+334×0.3+385×0.1=309.1（元）．（12分）

点评 本题考查了分段函数的性质、随机变量的分布列与数学期望计算公式、条件概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．