Question

直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x= 6 cosθ y= 2 sinθ

（θ为参数），直线l的参数方程为

x= 3 2 t y=2- 1 2 t

（t为参数），T为直线l与曲线C的公共点．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求点T的极坐标；
（2）P是曲线C上的一点，求P到直线l的距离的最大值．

Answer 1

考点：直线的参数方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）曲线C的参数方程为

x= 6 cosθ y= 2 sinθ

（θ为参数），化为

x2

6

+

y2

2

=1．把直线l的参数方程

x= 3 2 t y=2- 1 2 t

（t为参数）代入上述方程解得t即可得出；
（2）直线l的方程为：x+

3

y-2

3

=0，利用点到直线的距离公式可得P到直线l的距离d=

| 6 cosθ+ 6 sinθ-2 3 |

2

=

|2 3 sin(θ+ π 4 )-2 3 |

2

，利用正弦函数的值域即可得出．

解答： 解：（1）曲线C的参数方程为

x= 6 cosθ y= 2 sinθ

（θ为参数），化为

x2

6

+

y2

2

=1．
把直线l的参数方程

x= 3 2 t y=2- 1 2 t

（t为参数）代入上述方程可得：t²-4t+4=0，
解得t=2，
∴T（

3

，1），化为T(2，

π

6

)．
（2）直线l的方程为：x+

3

y-2

3

=0，
∴P到直线l的距离d=

| 6 cosθ+ 6 sinθ-2 3 |

2

=

|2 3 sin(θ+ π 4 )-2 3 |

2

≤

4 3

2

=2

3

．
∴P到直线l的距离的最大值为2

3

．

点评：本题考查了椭圆的参数方程、直线的参数方程、点到直线的距离公式、正弦函数的值域、两角和差的正弦公式，考查了计算能力，属于基础题．