Question

定义在区间（1，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x²-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）．
设函数f（x）=lnx+

a+2

x+1

（x＞1），其中a为实数．
（1）求证：函数f（x）具有性质P（a）；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后将其配凑成f′（x）=h（x）（x²-ax+1）这种形式，再说明h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，即可证明函数f（x）具有性质P（b）；
（2）根据第一问令φ（x）=x²-bx+1，讨论对称轴与2的大小，当a≤2时，对于x＞1，φ（x）＞0，所以f′（x）＞0，可得f（x）在区间（1，+∞）上单调性，当a＞2时，φ（x）图象开口向上，对称轴 x=

a

2

＞1，可求出方程φ（x）=0的两根，判定两根的范围，从而确定φ（x）的符号，得到f′（x）的符号，最终求出单调区间．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

-

a+2

(x+1)2

=

1

x(x+1)2

（x²-ax+1）
∵x＞1时，h（x）=

1

x(x+1)2

＞0恒成立，
∴函数f（x）具有性质P（b）；
（2）当a≤2时，对于x＞1，φ（x）=x²-ax+1≥x²-2x+1=（x-1）²＞0
所以f′（x）＞0，故此时f（x）在区间（1，+∞）上递增；
当a＞2时，φ（x）图象开口向上，对称轴 x=

a

2

＞1，
方程φ（x）=0的两根为：

a+ a2-4

2

，

a- a2-4

2

，而

a+ a2-4

2

＞1，

a- a2-4

2

=

2

a+ a2-4

∈（0，1）
当 x∈（1，

a+ a2-4

2

）时，φ（x）＜0，f′（x）＜0，
故此时f（x）在区间 （1，

a+ a2-4

2

）上递减；
同理得：f（x）在区间[

a+ a2-4

2

，+∞）上递增．
综上所述，当b≤2时，f（x）在区间（1，+∞）上递增；
当b＞2时，f（x）在 （1，

a+ a2-4

2

）上递减；f（x）在[

a+ a2-4

2

，+∞）上递增

点评：本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属于中档题