Question

在如图所示的几何体中，四边形BB₁C₁C是长方形，BB₁⊥AB，CA=CB，
A₁B₁∥AB，AB=2A₁B₁，E，F分别是AB，AC₁的中点．
（1）求证：EF∥平面BB₁C₁C；
（2）求证：平面C₁AA₁⊥平面ABB₁A₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结BC₁，可证EF∥BC₁，从而证明EF∥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ） 连结A₁E，CE，可证C₁A₁EC是平行四边形，可得A₁C₁∥EC，即证明B₁B⊥EC，可证EC⊥平面ABB₁A₁，有A₁C₁⊥平面ABB₁A₁，即可证明平面C₁AA₁⊥平面ABB₁A₁．

解答： 解：（Ⅰ）如图，连结BC₁．
∵E，F分别是AB，AC₁的中点，
∴EF∥BC₁．
∵BC₁?面BB₁C₁C，EF?面BB₁C₁C，
∴EF∥平面BB₁C₁C．…（4分）

（Ⅱ） 如图，连结A₁E，CE．
∵AB∥A₁B₁，AB=2A₁B₁，E为中点，
∴BE∥A₁B₁，且BE=A₁B₁，即A₁B₁BE是平行四边形，
∴A₁E∥B₁B，且A₁E=B₁B．
由四边形BB₁C₁C是长方形，知C₁C∥B₁B，且C₁C=B₁B，
∴A₁E∥C₁C，且A₁E=C₁C，即C₁A₁EC是平行四边形，
∴A₁C₁∥EC．…（7分）
∵B₁B⊥BC，B₁B⊥AB，
∴B₁B⊥面ABC，
∴B₁B⊥EC． …（9分）
由CA=CB，得EC⊥AB，
∴EC⊥平面ABB₁A₁．…（10分）
∴A₁C₁⊥平面ABB₁A₁．
∵A₁C₁?平面C₁AA₁，
∴平面C₁AA₁⊥平面ABB₁A₁．  …（12分）

点评：本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，对判定定理的熟练应用是解题的关键，属于中档题．