Question

（Ⅰ） 若α，β∈[0，2π]，用向量法证明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（Ⅱ） 若向量

a

=（sinθ，-2）与

b

=（1，cosθ）互相垂直，且sin（θ-φ）=

10

10

其中θ∈（0，

π

2

），φ∈（0，

π

2

）求cosφ．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量的坐标运算

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）建立直角坐标系，设的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，角α、β的终边分别与单位圆交于M（cosα，sinα）、N（cosβ，sinβ），则由两个向量的数量积的定义可得

OM

•

ON

=cos(α-β)，再利用两个向量的数量积公式可得

OM

•

ON

=cosαcosβ+sinαsinβ，从而证得公式成立；
（Ⅱ）根据向量

a

=（sinθ，-2）与

b

=（1，cosθ）互相垂直，得到sinθ=2cosθ，然后，求解即可．

解答： （Ⅰ）证明：建立直角坐标系，设的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，
角α、β的终边分别与单位圆交于M（cosα，sinα）、N（cosβ，sinβ），
则由两个向量的数量积的定义可得

OM

•

ON

=cos(α-β)，
再利用两个向量的数量积公式可得

OM

•

ON

=cosαcosβ+sinαsinβ，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
（Ⅱ）∵向量

a

=（sinθ，-2）与

b

=（1，cosθ）互相垂直，
∴

a

•

b

=sinθ-2cosθ=0，
∴sinθ=2cosθ，
∵sin²θ+cos²θ=1，θ∈（0，

π

2

），
∴sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

，
∵sin（θ-φ）=

10

10

，
cosφ=cos[θ-（θ-φ）]=cosθcos（θ-φ）+sinθsin（θ-φ）
=

5

5

×

3 10

10

+

2 5

5

×

10

10

=

2

2

．
∴cosφ=

2

2

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式、两角差的三角公式等知识，属于中档题．