Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对应的边，∠C=90°，则

a+b

c

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：通过∠C=90°，得到sinC=1，然后利用正弦定理表示出a与b，代入

a+b

c

，表示出

a+b

c

，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，从而根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，得到

a+b

c

的范围．

解答： 解：由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，又sinC=1，
∴a=csinA，b=csinB，
所以

a+b

c

=

csinA+csinB

c

，由A+B=90°，得到sinB=cosA，
则

csinA+csinB

c

=sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

），
∵∠C=

π

2

∴A∈（0，

π

2

），∴sin（A+

π

4

）∈（

2

2

，1]，
∴

a+b

c

∈（1，

2

]．
故答案为：（1，

2

]．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值．根据正弦定理表示出a与b是本题的突破点，同时要求学生掌握正弦函数的值域的求法，属于中档题．