Question

已知条件p：（x+

a-1

5

）（x+

1+a

5

）＞0；条件q：

1

2x2-3x+1

＞0
（1）请选取一个适当的实数a的值，使利用所给的两个条件构造的命题“若p，则q”为假命题，而其逆命题为真命题，并说明理由；
（2）请问是否存在实数a，使利用所给的两个条件构造的命题“若p，则q”为真命题，而其否命题为假命题？若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：不等式的解法及应用,简易逻辑

分析：求解二次不等式得到命题p和q对应的不等式的解集．
（1）直接取a=9即可说明“若p，则q”为假命题，而其逆命题为真命题；
（2）由若p，则q为真命题得到

a-1 5 ≤ 1 2 1+a 5 ≥2

，由此不等式的解集为空集说明不存在实数a，使利用所给的两个条件构造的命题“若p，则q”为真命题，而其否命题为假命题．

解答： 解：由（x+

a-1

5

）（x+

1+a

5

）＞0，得x＜

a-1

5

或x＞

1+a

5

．
设集合A={x|x＜

a-1

5

或x＞

1+a

5

}．
由

1

2x2-3x+1

＞0，得2x²-3x+1＞0，解得：x＜

1

2

或x＞2．
设集合B={x|x＜

1

2

或x＞2}．
（1）取a=9，则A={x|x＜

a-1

5

或x＞

1+a

5

}={x|x＜

8

5

或x＞2}．
符合B⊆A，但A不是B的子集，即
若p，则q为假命题，若q，则p为真命题；
（2）若p，则q为真命题，其否命题为假命题，即若p，则q为真命题，若q，则p为假命题．
则A⊆B，而B不是A的子集．
由

a-1 5 ≤ 1 2 1+a 5 ≥2

，解得：a∉∅．
∴不存在实数a，使利用所给的两个条件构造的命题“若p，则q”为真命题，而其否命题为假命题．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了命题与集合间的转化关系，关键是对题意得理解与应用，是中档题．