Question

如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，E为PD的中点，PA=AB=1，∠ABC=

π

3

．
（1）求证：PB∥面ACE；
（2）求PB与面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：计算题,作图题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连BD交AC于O点，连OE，可证OE∥PB，从而可得PB∥面AEC；
（2）连结PO，可证明BD⊥面PAC，因此∠BPO为PB与面PAC所成的角；从而求PB与面PAC所成角的正弦值．

解答： 解：（1）证明：连BD交AC于O点，连OE，
∵ABCD为菱形，
∴O为BD的中点，
又∵E为PD的中点，
∴OE∥PB，
又∵PB?面AEC，OE?面AEC，
∴PB∥面AEC．

（2）连结PO，
∵O为BD的中点，
∴BD⊥AC，
又∵PA⊥面ABCD，
PA⊥BD，
∴BD⊥面PAC，
∠BPO为PB与面PAC所成的角．
在Rt△PAB中，PA=AB=1，
∴PB=

2

，
在菱形ABCD中，∠ABC=

π

3

，AB=1，
∴BO=

3

2

，
∴sin∠BPO=

6

4

．

点评：本题考查了线面平行的证明及线面所成角的作法及求法，同时考查了辅助线的作法，属于中档题．