Question

数列{a_n}的首项为a₁=2且a_n+1=

1

2

（a₁+a₂+…+a_n）（n∈N^*），记S_n为数列{a_n}的前n项和，则数列{S_n}的前n项和T_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：依题意，可求得a_n+1=

3

2

a_n（n≥2），又a₂=

1

2

a₁=1，于是可知数列{a_n}是从第二项开始的等比数列，公比为

3

2

，利用等比数列的求和公式可求得数列{a_n}的前n项和S_n，
再利用等比数列的求和公式可求得数列{S_n}的前n项和T_n．

解答： 解：由题意可得a_n+1=

1

2

（a₁+a₂+…+a_n）=

1

2

S_n，
当n≥2时，a_n=

1

2

S_n-1，
两式相减得，a_n+1-a_n=

1

2

（S_n-S_n-1）=

1

2

a_n，
从而有a_n+1=

3

2

a_n（n≥2），
又a₂=

1

2

a₁=1，
∴数列{a_n}是从第二项开始的等比数列，公比为

3

2

，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=2+1+

3

2

+(

3

2

)2+…+(

3

2

)n-2=2+

[1-( 3 2 )n-1]

1- 3 2

=2-2+2•(

3

2

)n-1=2•(

3

2

)n-1．
则数列{S_n}的前n项和T_n=S₁+S₂+…+S_n=2[1+

3

2

+(

3

2

)2+…+(

3

2

)n-1]=2×

[1-( 3 2 )n]

1- 3 2

=4×(

3

2

)n-4．

点评：本题考查数列的求和，考查等比关系的确定，着重考查等比数列的求和公式，考查化归思想与运算求解能力，属于中档题．