题目内容
已知函数f（x）=x3+3x对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围 ．
考点：二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：先利用函数的奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，再由导数判断出函数的单调性，利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得x的不等式组，解出可得答案．
解答：
解：由题意得，函数的定义域是R，
且f（-x）=（-x）3+3（-x）=-（x3+3x）=-f（x），
所以f（x）是奇函数，
又f'（x）=3x2+3＞0，所以f（x）在R上单调递增，
所以f（mx-2）+f（x）＜0可化为：f（mx-2）＜-f（x）=f（-x），
由f（x）递增知：mx-2＜-x，即mx+x-2＜0，
则对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，
等价于对任意的m∈[-2，2]，mx+x-2＜0恒成立，
所以
，解得-2＜x＜
，
即x的取值范围是(-2，
)，
故答案为：(-2，
)．
且f（-x）=（-x）3+3（-x）=-（x3+3x）=-f（x），
所以f（x）是奇函数，
又f'（x）=3x2+3＞0，所以f（x）在R上单调递增，
所以f（mx-2）+f（x）＜0可化为：f（mx-2）＜-f（x）=f（-x），
由f（x）递增知：mx-2＜-x，即mx+x-2＜0，
则对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，
等价于对任意的m∈[-2，2]，mx+x-2＜0恒成立，
所以
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即x的取值范围是(-2，
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| 3 |
故答案为：(-2，
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点评：本题考查恒成立问题，函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查转化思想，以及学生灵活运用知识解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
设x∈（0，
），则“xsinx＜1”是“xsin2x＜1”的（ ）
| π |
| 2 |
| A、充分不必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不充分又不必要条件 |