Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，且A₁A=4．梯形ABCD的面积为6，且AD∥BC，AD=2BC，CD=2．平面A₁DCE与B₁B交于点E．
（1）证明：EC∥A₁D；
（2）求三棱锥C-A₁AB的体积；
（3）求二面角A₁-DC-A的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明BE∥平面AA₁D．BC∥平面AA₁D，通过BE∩BC=B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，利用平面BCE∥平面ADA₁，利用平面与平面平行的性质定理证明EC∥A₁D．
（2）求出S△ABC=

1

2

S△ACD=

1

3

S梯形ABCD=2．然后求出棱锥的体积．
（3）解法一：在△ADC中，作AF⊥CD于F，连接A₁F，证明CD⊥A₁A．推出CD⊥面A₁AF．说明∠A₁FA为二面角A₁-DC-A的平面角，然后求出二面角A₁-DC-A的大小．
解法二：以D为坐标原点，

DA

，

DD1

分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系，设∠CDA=θ，BC=a，求出平面A₁DC的一个法向量

n

=(x，y，1)，平面ABCD的一个法向量

m

=(0，0，1)，通过向量数量积求解二面角A₁-DC-A的大小．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）证明：因为BE∥AA₁，AA₁?平面AA₁D，BE?平面AA₁D，所以BE∥平面AA₁D．（1分）
因为BC∥AD，AD?平面AA₁D，BC?平面AA₁D，所以BC∥平面AA₁D．（2分）
又BE∩BC=B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，所以平面BCE∥平面ADA₁．（3分）
又平面A₁DCE∩平面BCE=EC，平面A₁DCE∩平面A₁AD=A₁D，
所以EC∥A₁D．（4分）
（2）解：因为S_梯形ABCD=6，BC∥AD，AD=2BC，所以S△ABC=

1

2

S△ACD=

1

3

S梯形ABCD=2．
（6分）
所以VC-A1AB=VA1-ABC=

1

3

A1AS△ABC=

1

3

×4×2=

8

3

．（8分）
（3）解法一：如图，在△ADC中，作AF⊥CD于F，连接A₁F．（9分）
因为A₁A⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
所以CD⊥A₁A．
又A₁A∩AF=A，所以CD⊥面A₁AF．
又A₁F?面A₁AF，所以CD⊥A₁F．（10分）
所以∠A₁FA为二面角A₁-DC-A的平面角．（11分）
由（2）得S△ACD=

2

3

S梯形ABCD=4，所以AF=

2S△ACD

CD

=4．（12分）
所以tan∠A1FA=

A1A

AF

=1，（13分）
所以∠A1FA=

π

4

，即二面角A₁-DC-A的大小为

π

4

．（14分）
解法二：如图，以D为坐标原点，

DA

，

DD1

分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系．（9分）
设∠CDA=θ，BC=a，则AD=2a．
因为S梯形ABCD=

a+2a

2

•2sinθ=6，所以a=

2

sinθ

．（10分）
所以C（2cosθ，2sinθ，0），A1(

4

sinθ

，0，4)，
所以

DC

=(2cosθ，2sinθ，0)，

DA1

=(

4

sinθ

，0，4)．（11分）
设平面A₁DC的一个法向量

n

=(x，y，1)，
由

DA1 • n = 4 sinθ x+4=0 DC • n =2xcosθ+2ysinθ=0

，得

x=-sinθ y=cosθ

，所以

n

=(-sinθ，cosθ，1)．（12分）
又平面ABCD的一个法向量

m

=(0，0，1)，（13分）
所以cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

2

2

，所以二面角A₁-DC-A的大小为

π

4

．（14分）

点评：本题考查二面角的求法，几何体的体积，平面与平面平行的判定定理与性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．