题目内容
函数f（x）=2x-
的定义域为（0，1]（a为实数）．
（1）当a=1时，求函数y=f（x）的值域；
（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围．
| a |
| x |
（1）当a=1时，求函数y=f（x）的值域；
（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围．
考点：奇偶性与单调性的综合,函数的值域
专题：函数的性质及应用
分析：（1）当a=1时，f（x）=2x-
，根据函数单调性“增“+“增“=“增“，可得f（x）=2x-
在（0，1]上单调递增，当x=1时取得最大值f（1）=1，无最小值，进而得到函数y=f（x）的值域；
（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，则任取x1，x2∈（0，1]且x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）成立，即(x1-x2)(2+
)＞0恒成立，进而可得a的取值范围．
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，则任取x1，x2∈（0，1]且x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）成立，即(x1-x2)(2+
| a |
| x1x2 |
解答：
解：（1）当a=1时，f（x）=2x-
，
当x∈（0，1]时，y1=2x和y2=-
均单调递增，
所以f（x）=2x-
在（0，1]上单调递增．
当x=1时取得最大值f（1）=1，无最小值，
故值域为（-∞，1]．
（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，
则任取x1，x2∈（0，1]且x1＜x2，
都有f（x1）＞f（x2）成立，
即(x1-x2)(2+
)＞0恒成立，
也就是（x1-x2）•
＞0，
只需2x1x2+a＜0，即a＜-2x1x2成立．
由x1，x2∈（0，1]，
故-2x1x2∈（-2，0），
所以a≤-2．
故a的取值范围是（-∞，-2]．
| 1 |
| x |
当x∈（0，1]时，y1=2x和y2=-
| 1 |
| x |
所以f（x）=2x-
| 1 |
| x |
当x=1时取得最大值f（1）=1，无最小值，
故值域为（-∞，1]．
（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，
则任取x1，x2∈（0，1]且x1＜x2，
都有f（x1）＞f（x2）成立，
即(x1-x2)(2+
| a |
| x1x2 |
也就是（x1-x2）•
| 2x1x2+a |
| x1x2 |
只需2x1x2+a＜0，即a＜-2x1x2成立．
由x1，x2∈（0，1]，
故-2x1x2∈（-2，0），
所以a≤-2．
故a的取值范围是（-∞，-2]．
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与函数的单调性，函数的值域，是函数图象与性质的综合应用，难度中档．
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