Question

18．设正项数列{a_n}的前n项和S_n满足6S_n=a_n+1²-9n（n∈N^*），且a₂，a₃，a₅构成等比数列，则数列{a_n}的通项公式为 a_n=3n-3．

Answer 1

分析 根据数列的递推公式可得数列{a_n}为公差为3的等差数列，再根据a₂，a₃，a₅构成等比数列，即可求出通项公式．

解答 解：∵6S_n=a_n+1²-9n，
当n=1时，6a₁=a₂²-9
当n≥2时，6S_n-1=a_n²-9（n-1）
∴6a_n=a_n+1²-9（n-1）-a_n²+9（n-1）
∴a_n+1²=a_n²+6a_n+9=（a_n+3）²，
∵a_n＞0，
∴a_n+1=a_n+3，
∴数列{a_n}为公差为3的等差数列，
∴a_n=a₁+3（n-1），
∵a₂，a₃，a₅构成等比数列，
∴a₃²=a₂•a₅，
∴（a₁+6）²=（a₁+3）（a₁+12）
解得a₁=0，
∴a_n={a_n}3n-3，
∴a₂=3，
∴满足6a₁=a₂²-9，
∴a_n=3n-3，
故答案为：3n-3

点评 本题考查了数列的递推公式和和通项公式的求法，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题