Question

10．已知函数f（x）=|x+2|，x∈R．
（1）解不等式f（2x）≤12-f（x-3）；
（2）已知不等式f（2x）≤f（2x-3）+|x+a|的解集为M，且$M∩（{\frac{1}{2}，1}）≠∅$，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，即可解不等式；
（2）x∈（$\frac{1}{2}$，1），不等式f（2x）≤f（2x-3）+|x+a|，即|x+a|≥3，求出M∩（$\frac{1}{2}$，1）=∅的a的范围，再求补集即可．

解答 解：（1）不等式f（2x）≤12-f（x-3），即|2x+2|+|x-1|≤12．
x＜-1时，不等式化为-2x-2-x+1≤12，解得x≥-$\frac{13}{3}$，∴-$\frac{13}{3}$≤x＜-1；
-1≤x≤1时，不等式化为2x+2-x+1≤12，解得x≤9，∴-1≤x≤1；
x＞1时，不等式化为2x+2+x-1≤12，解得x≤$\frac{11}{3}$，∴1＜x≤$\frac{11}{3}$；
综上所述，不等式的解集为[-$\frac{13}{3}$，$\frac{11}{3}$]；
（2）x∈（$\frac{1}{2}$，1），不等式f（2x）≤f（2x-3）+|x+a|，即|x+a|≥3，
∴x≤-a-3或x≥-a+3，若M∩（$\frac{1}{2}$，1）=∅，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a-3≤\frac{1}{2}}\\{-a+3≥1}\end{array}\right.$，∴-$\frac{7}{2}$≤a≤2，
∵$M∩（{\frac{1}{2}，1}）≠∅$，∴a＜-$\frac{7}{2}$或a＞2．

点评 本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．