Question

7．已知sinα=$\frac{1}{2}$+cosα，且α∈（0，$\frac{π}{2}$），则sin2α=$\frac{3}{4}$，cos2α=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin2α=2sinαcosα 的值以及cosα的值，从而求得cos2α的值．

解答 解：∵sinα=$\frac{1}{2}$+cosα，且α∈（0，$\frac{π}{2}$），即sinα-cosα=$\frac{1}{2}$①，平方可得1-2sinαcosα=$\frac{1}{4}$，
则sin2α=2sinαcosα=$\frac{3}{4}$＞0，∴α为锐角，
∴sinα+cosα=$\sqrt{{（sinα+cosα）}^{2}}$=$\sqrt{1+sin2α}$=$\sqrt{1+\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$ ②，
由①②求得cosα=$\frac{\sqrt{7}-1}{4}$，∴cos2α=2cos²α-1=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$；-$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．