Question

12．已知函数f（x）=lg$\frac{x+1}{x-1}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域，并证明其在定义域上是奇函数；
（Ⅱ）对于x∈[2，6]，f（x）＞lg$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对数函数的指数大于0，从而求解定义域．根据函数的奇偶性进行判断即可．
（Ⅱ）利用对数函数的性质化简不等式，转化为二次函数的问题求解m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{x+1}{x-1}$＞0，解得x＜-1或x＞1，
∴函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
∵f（-x）=lg$\frac{-x+1}{-x-1}$=lg$\frac{x-1}{x+1}$=-lg$\frac{x+1}{x-1}$=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数，
（Ⅱ）由题意：x∈[2，6]，
∴（x-1）（7-x）＞0，
∵$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$＞0，可得：m＞0．
即：lg$\frac{x+1}{x-1}$＞lg$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$＞恒成立，
整理：lg$\frac{x+1}{x-1}$-lg$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$＞0，
化简：lg$\frac{（x+1）（7-x）}{m}$＞0，
可得：lg$\frac{（x+1）（7-x）}{m}$＞lg1，
即$\frac{（x+1）（7-x）}{m}$＞1，
∴（x+1）（7-x）-m＞0，即：-x²+6x+7＞m，（x∈[2，6]）恒成立，
只需m小于-x²+6x+7的最小值．
令：y=-x²+6x+7=-（x-3）²+16
开口向下，x∈[2，6]，
当x=6时，y取得最小值，y_min=-（6-3）²+16=7，
所以：实数m的取值范围（0，7）．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了对数函数的图象与性质的应用问题，是中档题．