Question

16．若F₁，F₂是椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{m}$=1（0＜m＜9）的两个焦点，圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF₁相切于该线段的中点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（0，$\sqrt{5}$）的直线l与椭圆C交于两点A、B，以AB为直径的圆经过点（0，-$\sqrt{5}$），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）由椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{m}$=1（0＜m＜9），可得a=3，b=$\sqrt{m}$．不妨设椭圆的下焦点为F₁，设线段PF₁的中点为M，则OM⊥PF₁．利用中位线定理可得|PF₂|=2b．由椭圆定义可得：|PF₂|=2a-2b=6-2b．在Rt△OMF₁中，利用勾股定理可得c²=b²+（3-b）²，又c²=a²-b²，解得b²．即可得出．
（II）椭圆的上焦点为：F₂$（0，\sqrt{5}）$．设直线l的方程为：y=kx+$\sqrt{5}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：$（4{k}^{2}+9）{x}^{2}+8\sqrt{5}$kx-16=0，△＞0．以AB为直径的圆经过点（0，-$\sqrt{5}$），可得$\overrightarrow{{F}_{1}A}$$•\overrightarrow{{F}_{1}B}$=0，可得x₁x₂+$（{y}_{1}+\sqrt{5}）$$（{y}_{2}+\sqrt{5}）$=x₁x₂+$（k{x}_{1}+2\sqrt{5}）$$（k{x}_{2}+2\sqrt{5}）$=0，把根与系数的关系代入即可得出．

解答 解：（I）由椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{m}$=1（0＜m＜9），可得a=3，b=$\sqrt{m}$．
不妨设椭圆的下焦点为F₁，设线段PF₁的中点为M，则OM⊥PF₁．
又OM=b，OM是△PF₁F₂的中位线，∴|PF₂|=2b．
由椭圆定义可得：|PF₂|=2a-2b=6-2b．∴|MF₁|=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}|$=3-b．
在Rt△OMF₁中，$|O{F}_{1}{|}^{2}$=|OM|²+$|M{F}_{1}{|}^{2}$．∴c²=b²+（3-b）²，
又c²=a²-b²=9-b²，∴b²+（3-b）²=9-b²，解得b=2，∴m=b²=4．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
（II）椭圆的上焦点为：F₂$（0，\sqrt{5}）$．设直线l的方程为：y=kx+$\sqrt{5}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{5}}\\{\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化为：$（4{k}^{2}+9）{x}^{2}+8\sqrt{5}$kx-16=0，△＞0．∴x₁+x₂=$\frac{-8\sqrt{5}k}{4{k}^{2}+9}$，x₁•x₂=$\frac{-16}{4{k}^{2}+9}$，
∵以AB为直径的圆经过点（0，-$\sqrt{5}$），∴$\overrightarrow{{F}_{1}A}$$•\overrightarrow{{F}_{1}B}$=0，
∴x₁x₂+$（{y}_{1}+\sqrt{5}）$$（{y}_{2}+\sqrt{5}）$=x₁x₂+$（k{x}_{1}+2\sqrt{5}）$$（k{x}_{2}+2\sqrt{5}）$=（1+k²）x₁x₂+$2\sqrt{5}$k（x₁+x₂）+20
=（1+k²）•$\frac{-16}{4{k}^{2}+9}$+2$\sqrt{5}$k×$\frac{-8\sqrt{5}k}{4{k}^{2}+9}$+20=$\frac{-16{k}^{2}+164}{4{k}^{2}+9}$=0，
解得k=$±\frac{\sqrt{41}}{2}$，
∴直线l的方程为y=$±\frac{\sqrt{41}}{2}$x+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．