Question

设函数f（x）=mx²-mx-1（m∈R）．
（Ⅰ）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；
（Ⅱ）若对于x∈[-2，2]，m＜

6

x2-x+1

恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）将不等式转化为mx²-mx-1＜0，分m=0和m≠0两种情况讨论．对于后者对一切实数x，f（x）＜0恒成立等价于

m＜0 △=m2+4m＜0

，解不等式组即可得到m的取值范围．
（Ⅱ）构造函数g（x）=

6

x2-x+1

，则m＜

6

x2-x+1

恒成立等价于m小于g(x)=

6

x2-x+1

x∈[-2，2]的最小值，根据二次函数的性质求出g（x）的最小值，从而可得到m的取值范围．

解答： 解（Ⅰ）∵f（x）=mx²-mx-1（m∈R）．
∴f（x）＜0可化为mx²-mx-1＜0，
当m=0时，-1＜0恒成立，符合；
当m≠0时，对一切实数x，f（x）＜0恒成立等价于

m＜0 △=m2+4m＜0

，
解得-4＜m＜0，
∴m的取值范围是（-4，0]．
（Ⅱ）令g（x）=

6

x2-x+1

，
则m＜

6

x2-x+1

恒成立等价于m小于g(x)=

6

x2-x+1

x∈[-2，2]的最小值，
又∵g(x)=

6

x2-x+1

=

6

(x- 1 2 )2+ 3 4

，
∴当x=-2时，g（x）取最小值，
即g(x)min=g(-2)=

6

7

，
∴m＜

6

7

．

点评：本题考查二次函数的性质，一元二次不等式以及恒成立问题的处理方法和技巧，属于中档题．