Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2

2

的正方形，其他四个侧面是侧棱长为

5

的等腰三角形，过棱PD的中点E作截面EFGH，使截面EFGH∥平面PBC，且截面EFGH分别交四棱锥各棱F、G、H．
（Ⅰ）证明：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求截面EFGH与平面PAD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出EH∥PC，EF∥AD，由此能证明EF∥平面ABCD．
（Ⅱ）设AC∩BD=O，以O为原点，OB，OA，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出截面EFGH与平面PAD所成锐二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵平面EFGH∥平面PBC，
平面EFGH∩平面PCD=EH，平面PBC∩平面PCD=PC，
∴EH∥PC，又E是PD的中点，∴H是CD的中点，
同理可证F，G分别是PA、AB的中点，
∴EF∥AD，又EF不包含于平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（Ⅱ）解：∵底面ABCD是边长为2

2

的正方形，
设AC∩BD=O，则AC⊥BD，且AC=BD=4，
由侧面侧棱长为

5

的等腰三角形，知：
PO⊥AC，PO⊥BD，∴PO⊥平面ABCD，
∴以O为原点，OB，OA，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
由题意知A（0，2，0），B（2，0，0），
C（0，-2，0），D（-2，0，0），P（0，0，1），
由平面EFGH∥平面PBC知平面EFGH与平面PAD所成锐二面角等于平面PBC与平面PAD所成锐二面角，
设平面PBC的法向量为

m

=(x，y，z)，
∵

PB

=(2，0，-1)，

PC

=(0，-2，-1)，
∴

m • PB =2x-z=0 m • PC =-2y-z=0

，
取x=1，得

m

=(1，-1，2)．
设平面PAD的法向量

n

=(x1，y1，z1)，
∵

PA

=(0，2，-1)，

PD

=(-2，0，-1)，
∴

n • PA =2y1-z1=0 n • PD =-2x1-z1=0

，
取x₁=1，得

n

=（1，-1，-2），
设截面EFGH与平面PAD所成锐二面角的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

-2

6 • 6

|=

1

3

，
∴截面EFGH与平面PAD所成锐二面角的余弦值为

1

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．