Question

已知函数f（x）=cosx（

3

sinx+cosx），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及值域；
（Ⅱ）求f（x）单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，化简函数解析式，然后，求解周期即可；
（Ⅱ）利用三角函数的图象与性质直接进行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ） 因为f（x）=cosx（

3

sinx+cosx）
=

3

sinxcosx+cos²x
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
∴T=

2π

2

=π，
∴f（x）的最小正周期π
因为x∈R，
所以-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）+

1

2

≤

3

2

．
所以f（x）的值域为[-

1

2

，

3

2

]．
（Ⅱ） 因为-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，（k∈z），
所以-

2π

3

+2kπ≤2x≤

π

3

+2kπ．
所以-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ．
所以函数f（x的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈z

点评：本题重点考查三角函数的图象与性质，求解函数的周期等知识，属于中档题．