Question

已知函数f（x）=（2a+1）e^x+（a²-1）e^-x，a∈R
（1）若f（x）是奇函数，求a的值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）在R上是增函数？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：指数函数综合题,函数单调性的性质,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接令f（0）=0，求解a的值；
（2）首先，求导数，然后，令导数为非负数，求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）令f（0）=0，
∴（2a+1）×1+（a²-1）×1=0，
∴a=-2或a=0．
（2）∵f'（x）=（2a+1）e^x-（a²-1）e^-x
令f'（x）≥0，
∴

(2a+1)e2x-(a2-1)

ex

≥0，
∴（2a+1）e^2x-（a²-1）≥0，
当a=-

1

2

时，不符合题意，舍去
所以2a+1≠0，
∴e^2x≥

a2-1

2a+1

，
∵使得f（x）在R上是增函数，
∴

a2-1

2a+1

≤0，
∴a≤-1或-

1

2

＜a≤1，
∴存在实数a，使得f（x）在R上是增函数，实数a的取值范围（-∞，-1]∪（-

1

2

，1]；

点评：本题重点考查函数的奇偶性及其应用，注意奇函数的有关性质，掌握函数的单调性与导数之间的关系，属于中档题．