Question

设二次函数f（x）=x²-ax+b，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，求函数f（x）的解析式；
（2）若F（x）=f（x）+2-a-a²且f（1）=0且|F（x）|在[0，1]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据A={1，2}，且A={x|f（x）=x}，得到

1-a+b=1 4-2a+b=2

，从而得到

a=2 b=2

，从而确定其解析式；
（2）分△≤0和△＞0进行讨论完成．

解答： 解：（1）∵A={1，2}，且A={x|f（x）=x}．
∴

1-a+b=1 4-2a+b=2

，
∴

a=2 b=2

，
∴f（x）=x²-2x+2．
（2）∵F（x）=f（x）+2-a-a²且f（1）=0，
∴1-a+b=0，
即b=a-1，
∴F（x）=x²-ax+1-a²，
①当△≤0，即-

2 5

5

≤a≤

2 5

5

时，则必需

a 2 ≤0 - 2 5 5 ≤a≤ 2 5 5

，
∴-

2 5

5

≤a≤0．
②当△＞0，即a＜-

2 5

5

或a＞

2 5

5

时，
设方程F（x）=0的根为x₁，x₂（x₁＜x₂）．
若

a

2

≥1，则x₁≤0，即

a 2 ≥1 F(0)=1-a2≥0

⇒a≥2；
若

a

2

≤0，则x₂≤0，即

a 2 ≤0 F(0)=1-a2≥0

⇒-1≤a＜-

2 5

5

；
综上所述：-1≤a≤0或a≥2．
实数a的取值范围[-1，0]∪[2，+∞）．

点评：本题重点考查了函数的解析式求解方法、一元二次方程等知识，属于中档题，解题关键是灵活运用分类讨论思想在解题中的应用．