Question

设函数f（x）=alnx+

2a2

x

（a≠0）的图象上在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2-3a，
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求证：对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3-x．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求f（x）的定义域为{x|x＞0}，再求导f′(x)=

a

x

-

2a2

x2

，从而可得a的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-（3-x），求导，化恒成立问题为最值问题．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′(x)=

a

x

-

2a2

x2

．
根据题意，f'（1）=2-3a，所以a-2a²=2-3a，
即a²-2a+1=0，解得a=1．
（Ⅱ）证明：f(x)=lnx+

2

x

．
设g（x）=f（x）-（3-x），
即g(x)=lnx+

2

x

+x-3.g′(x)=

1

x

-

2

x2

+1=

x2+x-2

x2

=

(x-1)(x+2)

x2

(x＞0)．
当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	极小值	↗

x=1是g（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是g（x）的最小值点．
可见g（x）_最小值=g（1）=0，
所以g（x）≥0，即f（x）-（3-x）≥0，
所以对于定义域内的每一个x，都有f（x）≥3-x．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．