Question

8．如图，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线x=-a与y=b交于点D，且|BD|=3$\sqrt{2}$，过点B作直线l交直线x=-a于点M，交椭圆于另一点P．
（1）求直线MB与直线PA的斜率之积；
（2）证明：$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$为定值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出方程组，求解可得椭圆的方程．设M（-2，y₀），P（x₁，y₁），推出$\overrightarrow{OP}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{OM}$=（-2，y₀）．直线BM的方程，代入椭圆方程，由韦达定理得x₁，y₁，由此能求出直线MB与直线PA的斜率之积．
（2）$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$=-2x₁+y₀y₁，由此能证明$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$为定值．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
直线x=-a与y=b交于点D，且|BD|=3$\sqrt{2}$，
∴由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（2{a）}^{2}+{b}^{2}}=3\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$．
∴A（-2，0），B（2，0），设M（-2，y₀），P（x₁，y₁），
则$\overrightarrow{OP}$（x₁，y₁），$\overrightarrow{OM}$=（-2，y₀），
直线BM的方程为y=-$\frac{{y}_{0}}{4}$（x-2），即y=-$\frac{{y}_{0}}{4}$x+$\frac{1}{2}{y}_{0}$，
代入椭圆方程x²+2y²=4，得（1+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{8}$）x²-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}x$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$-4=0，
由韦达定理，得2x₁=$\frac{4（{{y}_{0}}^{2}-8）}{{{y}_{0}}^{2}+8}$，
∴${x}_{1}=\frac{2（{{y}_{0}}^{2}-8）}{{{y}_{0}}^{2}+8}$，${y}_{1}=\frac{8{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}+8}$，
∴k_MB•k_PA=$\frac{{y}_{0}}{-4}•\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=-$\frac{{y}_{0}}{4}$×$\frac{\frac{8{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}+8}}{\frac{2{{y}_{0}}^{2}-16}{{{y}_{0}}^{2}+8}+2}$=-$\frac{{y}_{0}}{4}•\frac{8{y}_{0}}{4{{y}_{0}}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
∴直线MB与直线PA的斜率之积为-$\frac{1}{2}$．
证明：（2）∵$\overrightarrow{OP}$（x₁，y₁），$\overrightarrow{OM}$=（-2，y₀），
${x}_{1}=\frac{2（{{y}_{0}}^{2}-8）}{{{y}_{0}}^{2}+8}$，${y}_{1}=\frac{8{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}+8}$，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$=-2x₁+y₀y₁=-$\frac{4（{{y}_{0}}^{2}-8）}{{{y}_{0}}^{2}+8}$+$\frac{8{{y}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}+8}$=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}+32}{{{y}_{0}}^{2}+8}$=4．
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$为定值4．

点评 本题考查两直线斜率之积的求法，考查两向量的数量积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线、向量、专达定理等知识点的合理运用．