Question

20．在等差数列{a_n}中，a₂=3，a₇=13，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）．
（1）求a_n及b_n；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式可得a_n，利用数列递推关系可得b_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂=3，a₇=13，
∴a₁+d=3，a₁+6d=13，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）．
∴b₁=S₁=4，
n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）-$\frac{4}{3}（{4}^{n-1}-1）$=4ⁿ，n=1时也成立．
∴b_n=4ⁿ．
（2）a_nb_n=（2n-1）•4ⁿ．
∴数列{a_n•b_n}的前n项和T_n=4+3×4²+5×4³…+（2n-1）•4ⁿ，
4T_n=4²+3×4³+…+（2n-3）•4ⁿ+（2n-1）•4ⁿ⁺¹．
∴-3T_n=4+2（4²+4³+…+4ⁿ）-（2n-1）•4ⁿ⁺¹=$2×\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$-4-（2n-1）•4ⁿ⁺¹．
∴T_n=$\frac{6n-5}{9}$•4ⁿ⁺¹+$\frac{20}{9}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．