Question

设函数f（x）=sinxcos（x+

π

3

）+

3

4

，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间[0，

π

2

]上的单调性．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先通过关系式的恒等变换，变形呈正弦型函数，进一步求出最小正周期和最值．
（Ⅱ）利用整体思想确定单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=sinx（

1

2

cosx-

3

2

sinx）+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

2

•

1-cos2x

2

+

3

4

=

1

2

sin（2x+

π

3

），
∴f（x）的最大值为

1

2

，最小正周期为π．
（Ⅱ）0≤x≤

π

2

所以：

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

当

π

3

≤2x+

π

3

≤

π

2

即0≤x≤

π

12

，函数f（x）为单调递增函数．
当

π

2

≤2x+

π

3

≤

4π

3

时，即

π

12

≤x≤

π

2

，函数f（x）为单调递减函数．
所以：函数的递增区间为：[0，

π

12

]
函数的递减区间为：[

π

12

，

π

2

]．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，帧线性函数的单调区间和最小周期及最值．属于基础题型．