Question

已知函数f（x）=asin2x+acos2x+b．
（Ⅰ）求证：函数f（x）的图象关于直线x=

π

8

对称
（Ⅱ）若函数f（x）的图象过点A（0，1），且当x∈[0，

π

4

]时，f（x）≤b²恒成立，试确定实数b的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）函数关于x=

π

8

对称，只要证明f（

π

4

-x）=f（x）即可．
（Ⅱ）根据函数的定义域求函数的值域，进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）证明；因为

f( π 4 -x)=asin( π 2 -2x)+acos( π 2 -2x)+b =acos2x+asin2x+b=f(x)，

所以函数f（x）的图象关于直线x=

π

8

对称．
（Ⅱ）由已知得f（0）=a+b=1，所以a=1-b，
f（x）=（1-b）sin2x+（1-b）cos2x+b，
即f(x)=

2

(1-b)sin(2x+

π

4

)+b，
又当x∈[0，

π

4

]时，

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1，
要使得当0≤x≤

π

4

时，不等式f（x）≤b²恒成立，
须且只须

1-b＞0 2 (1-b)+b≤b2

或

1-b≤0 (1-b)+b≤b2

，
解得b≤-

2

或b≥1．
所以所求b的取值范围为：b≤-

2

或b≥1．

点评：本题考查的知识要点：函数对称性的证明，正弦型函数的性质，恒成立问题的应用．属于基础题型．