Question

近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5

A小区	低碳族	非低碳族
频率 p	0.5	0.5

小区	低碳族	非低碳族
频率 p	0.8	0.2

（Ⅰ） 如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；
（Ⅱ）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选3个人，记X表示3个人中低碳族人数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设事件C表示“这4人中恰有2人是低碳族”．利用互斥事件概率计算公式能求出这4人中恰有2人是低碳族的概率．
（Ⅱ）设A小区有a人，X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）设事件C表示“这4人中恰有2人是低碳族”．…（1分）P(C)=

C

2 2

•0.52•

C

2 2

•0.22+

C

1 2

•0.5×0.5×

C

1 2

•0.2×0.8+

C

2 2

•0.52•

C

2 2

•0.82
=0.01+0.16+0.16=0.33．…（5分）
（Ⅱ）设A小区有a人，
两周后非低碳族的概率P=

a×0.5×( 1-20% )2

a

=0.32．
故低碳族的概率P=1-0.32=0.68．…（7分）
X的所有可能取值为0，1，2，3，
低碳族的概率P=0.68=

17

25

，
P(X=0)=(

8

25

)3，
P(X=1)=

C

1 3

17

25

•(

8

25

)2，
P(X=2)=

C

2 3

(

17

25

)2•

8

25

，
P(X=3)=(

17

25

)3，
X的分布列为

X	0	1	2	3
P	( 8 25 )3	C 1 3 17 25 •( 8 25 )2	C 2 3 ( 17 25 )2• 8 25	( 17 25 )3

因随机地从A小区中任选3个人，这3个人是否为低碳族相互独立，
且每个人是低碳族的概率都是0.68，
故这3个人中低碳族人数服从二项分布，即X～B（3，0.68），
故E（X）=3×0.68=2.04．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望和分布列的求法，是中档题．