Question

在等比数列{a_n}中，首项为a₁，公比为q，S_n表示其前n项和．若a1=a∈[

1

2010

，

1

1949

]，

S6

S3

=9，记数列{log₂a_n}的前n项和为T_n，当n=

 

时，T_n有最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：若q=1，则

S6

S3

=2≠9，与题设矛盾；若q≠1，则

S6

S3

=1+q³，故有1+q³=9，解得q=2．所以a_n=a•2^n-1，可知log₂a_n=n-1+log₂a．由此入手能够推导出当n=11时，T_n有最小值．

解答： 解：若q=1，则

S6

S3

=2≠9，
与题设矛盾，此情况不存在；
若q≠1，则

S6

S3

=1+q³，
故有1+q³=9，解得q=2．
所以a_n=a•2^n-1，可知log₂a_n=n-1+log₂a．
所以数列{log₂a_n}是以log₂a为首项，1为公差的等差数列．
令log₂a_n≤0，即n-1+log₂a≤0?n≤1-log₂a．
因为a1=a∈[

1

2010

，

1

1949

]，
所以log₂a∈[-log₂2010，-log₂1949]，
即得1-log₂a∈[1+log₂1949，1+log₂2010]，
可知满足log₂a_n≤0的最大的n值为11．
所以，数列{log₂a_n}的前11项均为负值，
从第12项开始都是正数．因此，当n=11时，T_n有最小值．
故答案为：11．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．