Question

增城石滩某菜民想用篱笆围成一个的矩形菜园，请你设计此个矩形的长和宽，满足他下列要求：
（1）用篱笆围成一个面积为100m²的矩形菜园，要所用篱笆最短；
（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，菜园的面积最大．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（1）设矩形菜园的长为x米，宽为y米（x＞0，y＞0）则有xy=100，矩形菜园的周长c=2（x+y）≥4

xy

=40，即可得出结论；
（2）设矩形菜园的长为x米，宽为y米（x＞0，y＞0）则有2（x+y）=36，矩形菜园的面积S=xy≤(

x+y

2

)2=81，即可得出结论．

解答： 解：（1）设矩形菜园的长为x米，宽为y米（x＞0，y＞0）则有xy=100…（1分）
矩形菜园的周长c=2（x+y）≥4

xy

=40…（4分）
当且仅当x=y=10时，上述不等式等号成立．…（6分）
矩形的长和宽均为10时，所用篱笆最短；…（7分）
（2）设矩形菜园的长为x米，宽为y米（x＞0，y＞0）则有2（x+y）=36…（8分）
矩形菜园的面积S=xy≤(

x+y

2

)2=81…（11分）
当且仅当x=y=9时，上述不等式等号成立，…（13分）
矩形的长和宽均为9时，矩形菜园的面积最大…（14分）

点评：本题考查了基本不等式在求最值问题中的应用，属于中档题．