Question

如图，l₁l₂是通过某市开发区中心O的南北和东西走向的两条道路，连接M，N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线l₁对称，M到l₁，l₂的距离分别是2km，4km；N到l₁，l₂的距离分别是3km，9km．该市拟在点O的正北方向建设一座工厂，要求厂址到点O的距离大于5km，而不超过8km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于

6

km．则该厂离点O的最近距离为（工厂视为一点）（　　）

• A、6km
• B、6.5km
• C、6.25km
• D、7km

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：分别以l₁、l₂为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M，N的坐标可知，设MN所在抛物线的方程把M和N代入即可求得a和c，则抛物线方程可得；设出抛物线上任一点P的坐标，厂址为点A，进而根据两点间的距离公式表示出|PA|，进而根据|PA|的范围求得x和t的不等式关系，令u=x²，进而求得u的范围，推断出对于任意的u∈[4，9]，不等式u²+（1-2t）u+（t²-6）≥0恒成立，设f（u）=u²+（1-2t）u+（t²-6），根据t的范围确定

9

2

＜-

1-2t

2

≤

15

2

，进而利用△≤0求得t的最小值．

解答： 解：分别以l₁、l₂为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M（2，4），N（3，9），设MN所在抛物线的方程为y=ax²+c，则有

4=4a+c 9=9a+c

，解得a=1，c=0
∴所求方程为y=x²（2≤x≤3）
设抛物线弧上任意一点P（x，x²）（2≤x≤3）
厂址为点A（0，t）（5＜t≤8），由题意得|PA|=

x2+(x2-t)2

≥

6

∴x⁴+（1-2t）x²+（t²-6）≥0
令u=x²，∵2≤x≤3，∴4≤u≤9
∴对于任意的u∈[4，9]，不等式u²+（1-2t）u+（t²-6）≥0恒成立（*）
设f（u）=u²+（1-2t）u+（t²-6），∵5＜t≤8
∴

9

2

＜-

1-2t

2

≤

15

2

．
要使（*）恒成立，需△≤0，即（2t-1）²-4（t²-6）≤0
解得t≥

25

4

，∴t的最小值为6.26km
所以，该厂距离点O的最近距离为6.25km，
故选：C．

点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．