Question

已知等比数列{a_n}的前n项和S_n满足：S₄-S₁=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}为递增数列，b_n=

1

log2an•log2an+2

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，问是否存在最小正整数n使得T_n＞

1

2

成立？若存在，试确定n的值，不存在说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题

分析：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，依题意，列出方程组

a1q+a1q3=20 a3=a1q2=8

求出通项．
（2）由数列a_n单调递增，确定出an=2n求出Tn=

3

4

-

2n+3

2n2+6n+4

．假设存在，则有

3

4

-

2n+3

2n2+6n+4

＞

1

2

，求出n的值．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
依题意，有2（a₃+2）=a₂+a₄，
由S₄-S₁=28可得a₂+a₃+a₄=28
得a₃=8
∴a₂+a₄=20 …（3分）
∴

a1q+a1q3=20 a3=a1q2=8

 解之得

q=2 a1=2

或

q= 1 2 a1=32

   …（5分）
所以an=2n或an=(

1

2

)n-6                       …（6分）
（2）∵数列a_n单调递增，
∴q=2，a₁=2
∴an=2n
bn=

1

log22n•log22n+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)…（7分）

∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

=

1

2

(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

2n+3

2n2+6n+4

．…（9分）
假设存在，则有

3

4

-

2n+3

2n2+6n+4

＞

1

2

，整理得：n²-n-4＞0
解得n＞

1+ 17

2

或n＜

1- 17

2

（不合题意舍去）     …（11分）
又∵n为正整数，∴n的最小值为3．…（12分）

点评：本题主要考查数列的通项公式和前n项和的计算，要求熟练掌握错位相减法、裂项相消进行求和，考查学生的计算能力．