Question

甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，比赛规则为：七局四胜制，每场比赛均不出现平局．假设两人在每场比赛中获胜的概率都为

1

2

．
（1）求需要比赛场数ξ的分布列及数学期望ξ；
（2）如果比赛场馆是租借的，场地租金100元，而且每赛一场追加服务费32元，那么举行一次这样的比赛，预计平均花费多少元？

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）确定ξ的取值，求出相应的概率，可得分布列，从而可求数学期望；
（2）记“举行一次这样的比赛所需费用”为η，则η=32ξ+200，可求平均花费．

解答： 解：（1）根据题意ξ=4，5，6，7…（1分）
ξ=4表示：比分为4：0或0：4，∴P（ξ=4）=2

C

4 4

•(

1

2

)4=

1

8

，
ξ=5表示：比分为4：1或1：4，∴P（ξ=5）=2

C

3 4

•(

1

2

)5=

1

4

，
ξ=6表示：比分为4：2或2：4，∴P（ξ=6）=2

C

3 5

•(

1

2

)6=

5

16

，
ξ=7表示：比分为4：3或3：4，∴P（ξ=7）=2

C

3 6

•(

1

2

)7=

5

16

，…（6分）
∴需要比赛场数ξ的分布列为：

ξ	4	5	6	7
P	1 8	1 4	5 16	5 16

∴数学期望Eξ=4×

1

8

+5×

1

4

+6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

…（8分）
（2）记“举行一次这样的比赛所需费用”为η，则η=32ξ+200
∴Eη=32Eξ+200=386（元）
则举行一次这样的比赛，预计平均花费386元…（13分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．