Question

函数f（x）=cos⁴x-sin⁴x+2sinxcosx+2，（x∈R）
（1）求函数f（2x）的最小正周期和对称轴；
（2）求函数f（x+

π

8

）在区间[0，

π

3

]的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）用二倍角公式对函数解析式化简整理，求得f（2x）的表达式，进而利用三角函数性质求得其最小正周期和对称轴．
（2）表示出f（x+

π

8

），利用x的范围和三角函数的单调性求得其值域．

解答： 解：（1）f(x)=cos4x-sin4x+2sinxcosx+2=cos2x+sin2x+2=

2

sin(2x+

π

4

)+2
∴f(2x)=

2

sin(4x+

π

4

)+2
∴T=

2π

4

=

π

2

，
要求其对称轴，则有4x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，
即对称轴为x=

kπ

4

+

π

16

，k∈Z
（2）f(x+

π

8

)=

2

sin(2x+

π

2

)+2=

2

cos2x+2，
∵x∈[0，

π

3

]
∴0≤2x≤

2

3

π，
∴-

1

2

≤cos2x≤1
∴2-

2

2

≤

2

cos2x+2≤2+

2

即函数的值域为[2-

2

2

，2+

2

]．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象和性质．考查了基础知识的综合应用能力．