Question

已知z为复数，z+2i和

z

2-i

均为实数，其中i是虚数单位． 
①求复数z； 
②若复数（z+c）²在复平面上对应的点在第一象限，求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：复数的代数表示法及其几何意义,复数代数形式的乘除运算

专题：数系的扩充和复数

分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．

解答： 解：①设z=a+bi（a，b∈R），
∴z+2i=a+（b+2）i，

z

2-i

=

(a+bi)(2+i)

(2-i)(2+i)

=

2a-b+(a+2b)i

5

=

2a-b

5

+

a+2b

5

i．
∵z+2i和

z

2-i

均为实数，
∴b+2=0，

a+2b

5

=0．
解得b=-2，a=4． 
∴z=4-2i．
②∵复数（z+c）²=（4-2i+c）²=（4+c）²-4-4（4+c）i=12+8c+c²-（16+4c）i
在复平面上对应的点在第一象限，
∴

12+8c+c2＞0 -(16+4c)＞0

，
解得c＜-6．
∴实数c的取值范围为（-∞，-6）．

点评：本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于中档题．