Question

求关于x的方程ax²+2

2

x+a+1=0至少有一个负的实数根的充要条件．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：根据充分条件和必要条件的定义结合一元二次方程根与系数之间的关系进行求解即可．

解答： 解：①a=0时，方程等价为2

2

x+1=0，解得x=-

1

2 2

=-

2

4

＜0，满足条件．
②若a≠0，若方程有两异号实根，则由两根之积小于0可得

△=8-4a(a+1)＞0 a+1 a ＜0

，
即

a2+a-2＜0 a(a+1)＜0

，
即

-2＜a＜1 -1＜a＜0

，解得-1＜a＜0；
③若方程有两个负的实根，则必有

△=8-4a(a+1)≥0 - 2 2 a ＜0 a+1 a ＞0

，
即

a2+a-2≤0 a＞0 a＞0或a＜-1

，即

-2≤a≤1 a＞0 a＞0或a＜-1

，
解得0＜a≤1．
综上-1＜a≤1，
即方程ax²+2

2

x+a+1=0至少有一个负的实数根的充要条件是-1＜a≤1．

点评：本题主要考查一个一元二次根的分布问题，属于中档题．在二次项系数不确定的情况下，注意一定要分二次项系数分为0和不为0两种情况讨论．