Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足对任意x∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（x+y）
（1）求证：函数f（x）是奇函数
（2）如果当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（-1，1）上是单调递减函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质,函数奇偶性的性质

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0，则f（0）+f（0）=f（0），再令y=-x得，f（x）+f（-x）=f（0）=0；
（2）利用定义法证明函数的单调性．

解答： 证明：（1）令x=y=0，则f（0）+f（0）=f（0），
故f（0）=0；
再令y=-x得，f（x）+f（-x）=f（0）=0；
故f（x）+f（-x）=0；
故函数f（x）是奇函数．
（2）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
=f（x₁-x₂）；
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0；
又∵当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，
∴f（x₁-x₂）＞0；
故f（x₁）-f（x₂）＞0；
故f（x）在（-1，1）上是单调递减函数．

点评：本题考查了抽象函数的性质的判断与应用，属于中档题．