Question

已知函数f（x）=log_a（1-a^x）（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）当a＞1时，判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意得，1-a^x＞0；从而讨论a以求函数的定义域；
（2）当a＞1时，函数f（x）在其定义域（-∞，0）上是减函数，利用定义法证明．

解答： 解：（1）由题意得，1-a^x＞0；
当0＜a＜1时，1-a^x＞0的解集为（0，+∞）；
故f（x）的定义域为（0，+∞）；
当a＞1时，1-a^x＞0的解集为（-∞，0）；
故f（x）的定义域为（-∞，0）；
（2）当a＞1时，函数f（x）在其定义域（-∞，0）上是减函数，
证明如下，
任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
∵a＞1，则ax1＜ax2；
故1-ax1＞1-ax2；
故log_a（1-ax1）＞log_a（1-ax2）；
故f（x₁）＞f（x₂）；
故函数f（x）在其定义域（-∞，0）上是减函数．

点评：本题考查了函数的定义域的求法及函数的单调性的证明，属于基础题．