Question

已知向量

OP

=（2cos（

π

2

+x），-1），

OQ

=（-sin（

π

2

-x），cos2x），定义函数f（x）=

OP

•

OQ

．
（1）求函数f（x）的表达式，并指出其最大值和最小值；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC的面积S．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（1）首先对向量

OP

，

OQ

进行化简，利用三角函数的基本关系确定函数f（x）的解析式，从而求出f（x）的最大，最小值．
（2）根据已知条件以及（1）中的结论确定A的值，再利用三角形的面积公式求出面积S．

解答： 解：（1）∵

OP

=(2cos(

π

2

+x)，-1)=(-2sinx，-1)，

OQ

=(-sin(

π

2

-x)，cos2x)=(-cosx，cos2x)．
∴f（x）=

OP

•

OQ

=（-2sinx，-1）•（-cosx，cos2x）
=（-2sin x，-1）•（-cos x，cos 2x）
=（-sinx）•（-cosx）-cos2x
=sin 2x-cos2x
=

2

sin（2x-

π

4

），
∴f（x）的最大值和最小值分别是

2

和-

2

．
（2）∵f（A）=1，
∴

2

sin(2x-

π

4

)=1，
∴sin（2A-

π

4

）=

2

2

．
又∵0＜A＜π
∴2A-

π

4

=

π

4

或2A-

π

4

=

3π

4

．
∴A=

π

4

或A=

π

2

．
又∵△ABC为锐角三角形，
∴A=

π

4

．
∵bc=8，
∴△ABC的面积S═

1

2

×8×

2

2

=2

2

．

点评：本题考查三角函数基本关系的应用，正弦定理等知识．属于中档题．