Question

设正整数的无穷数列{a_n}（n∈N^*） 满足a₄=4，a_n²-a_n-1a_n+1=1（n≥2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出{a_n}，n∈N^*是正整数的无穷增数列，由a₄=4知，a₁=1，a₂=2，a₃=3．于是由{a_n}的递推公式及数学归纳法知a_n=n，n∈N^*．

解答： 解：由已知得

an

an+1

＞

an-1

an

，
若有某个n，使

an-1

an

≥1，则a_n＞a_n+1，
从而a_n-1≥a_n＞a_n+1＞a_n+2＞…，这显然不可能，
因为{a_n}，n∈N^*是正整数的无穷数列．
故数列{a_n}中的项是严格递增的．
从而由a₄=4知，a₁=1，a₂=2，a₃=3．
假设a_n=n，n∈N^*，用数学归纳法证明如下：
①当n=4时，a₄=4成立．
②假设n=k时，等式成立，
∵a_n²-a_n-1a_n+1=1（n≥2），
∴a_k²-a_k-1a_k+1=1（k≥2），
即k²-（k+1）（k+1）=1，
当n=k+1时，
a_k+1²-a_ka_k+2=（k+1）²-k（k+2）=1也成立，
∴a_n=n．
显然数列{n}，n∈N^*满足要求，
故所求的正整数无穷数列为{n}，n≥1．

点评：本题以数列递推式为载体，考查数列的通项的求法，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．